Що таке комплексні числа?

Рiвняння $x^{2} = - 1$ не має дiйсних розв’язкiв. Щоб ми не робили, нi додатне число, помножене саме на себе, нi вiд’ємне число, помножене саме на себе, не дасть у добутку вiд’ємне число. Отже, щоб мати змогу добувати квадратнi коренi з вiд’ємних чисел, математики запровадили те, що називається комплексними числами. Комплекснi числа ґрунтуються на уявнiй одиницi $i$ .

Теорiя

Уявнi числа

Уявна одиниця

i

визначається як

i^{2} = - 1

. Уявнi числа — це кратнi уявної одиницi. Кожне уявне число можна записати як

z = a i,

де $a \in ℝ$ .

Комплексне число складається з двох частин: дiйсної частини та уявної частини. Дiйсна частина комплексного числа — це дiйсне число на прямiй дiйсних чисел — просто звичайне число, до яких ми звикли. Уявна частина комплексного числа — це дiйсне число, що стоїть попереду уявної одиницi

i

. Записуючи комплекснi числа, можна роздiлити їх на дiйсну та уявну частини. Потiм число записують в алгебраїчнiй формi запису комплексного числа, яка вiдрiзняється вiд тригонометричної форми запису комплексного числа.

Теорiя

Алгебраїчна форма запису комплексного числа

В алгебраїчнiй формi комплексне число записують так

z = a + b i,

де $a, b \in ℝ$ . Тут $a$ — дiйсна частина $z$ , а $b$ — уявна частина $z$ .

Дiйсну частину комплексного числа

z

часто позначають

Re (z)

. Уявну частину комплексного числа

z

часто позначають

Im (z)

. Множину всiх комплексних чисел позначають

ℂ

Приклад 1

Знайди $Re (z)$ та $Im (z)$ для комплексного числа $z = 5 - 3 i \in ℂ$

Дiйсна частина комплексного числа — це завжди число без $i$ . Тут ми маємо $Re (z) = 5$ . Уявна частина комплексного числа завжди стоїть попереду $i$ . Зверни увагу, що $i$ не входить до уявної частини числа. Тут ми маємо $Im (z) = - 3$ .

Множина комплексних чисел мiстить як уявнi, так i дiйснi числа. Можна вважати, що уявнi числа — це комплекснi числа без дiйсної частини, а дiйснi числа — це комплекснi числа без уявної частини. Отже, множина комплексних чисел мiстить множину дiйсних чисел:

Множина комплексних чисел, що мiстить множину дiйсних чисел.

Помiркуй

Попри свою назву, уявнi числа не бiльш вигаданi, нiж, наприклад, вiд’ємнi числа. Комплекснi та уявнi числа мають важливе значення в багатьох роздiлах математики та природничих науках, зокрема у фiзицi.

Наступна стаття

Що означає комплексна площина?

Повернутися